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Algebra – Ecuaciones diofantinas, 2 videos

Hola a todos, en el siguiente video, les explico como encontrar todas las soluciones de una ecuación diofantina cuyos coeficientes son primos relativos entre si. Se me hizo más fácil y rápido que ponerme a escribir jeje.

Soluciones de una ecuación diofantina

El link para verlo en youtube directamente es:

http://youtu.be/WaxZS7Ykado

Problema de la bufanda – Ecuaciones diofantinas 2

http://youtu.be/8WahW0Vr-Ws

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Algebra – Calendario maya

Sujeto aún a correcciones…

El pasado lunes, hablamos sobre las cantidades inconmensurables entre si. Hoy demostraremos que \sqrt{2} no se puede expresar de la forma \frac{p}{q} con p y q enteros, esto nos dice que es un número inconmensurable con la unidad.

Los números que son inconmensurables con la unidad se llaman irracionales.

Ejemplos de irracionales que aparecen de manera natural:

\sqrt{2}\quad \pi\quad \varphi=\frac{1+\sqrt{5}}{2}

CUENTA LARGA MAYA

Los pueblos mesoamericanos tenían su propia manera de medir el tiempo, y coincidían entre si, aparentemente esta manera de medir el tiempo viene la inventaron los olmecas hace 35 siglos. Se tiene conocimiento del calendario Mexica y el calendario Maya, pero se le ha dado más importancia al calendario maya pues se han encontrado más registros de cuenta de tiempo de los mayas. El año mesoamericano es el año sideral y se mide a partir de la observación de las constelaciones, por eso es exacto. En cambio el año solar (el que usamos actualmente), se cuenta a partir de días solares y por eso no coincide con el año sideral, ya que el movimiento de traslación de la tierra y el movimiento de rotación son inconmensurables entre si.

El año civil de los mayas tenía 360 días. Los 5 días faltantes se consideraban de mala suerte, así que en esos días, no hacían nada!
El sistema de numeración para contar el tiempo de los mayas es el siguiente

kin equivale a 1 día

uinal son 20 días (1 mes maya)

tun son 18 uinal  (360 días, o sea, 1 año civil maya)

katún son 20 tun \sim  20 años

baktún son 20 katunes \sim 400 años

La cuenta larga maya es un período de 13 baktunes. El número 13 era importante para las civilizaciones mesoamericanas, tal vez porque se dieron cuenta de que un vuelta de la tierra alrededor del sol, es poco más de 13 vueltas de la luna alrededor de la tierra. El final de la primera cuenta larga maya se representa como 13.0.0.0.0

¿Cuántos días hay en una cuenta larga maya?

Partiendo de que 0.0.0.0.0 corresponde al 13 de agosto de 3114 a.C.

¿Cómo se representa la fecha actual del calendario gregoriano, en la cuenta larga maya?

Sugerencia: Contar los días que han pasado desde el 13 de agosto de 3114 a. C.

Tomando en cuenta las siguientes consideraciones:

1.- Del año 3114 a.C. a 45 a.C fueron años de 365 días. La cuenta de días comienza el 13 de agosto de 3114.

2.- Del año 45 a.C. al 1582 d. C . hubo año bisiesto cada 4 años (Calendario juliano)

3.- Los 10 días del 4 de octubre de 1582 al 18 de obtubre de 1582 no existieron, hay que quitarlos de la cuenta.

4.- A partir del año 1582 entra en vigor la nueva regla para definir año bisiesto. (Calendario Gregoriano)

5.- Hay una teoría de que los años etiquetados con d.C (después de Cristo) se cuentan a partir de la muerte de Cristo, si es así, entonces también se han perdido en la cuenta los 33 años que vivió Cristo.

Si el 1 de enero de 2012 es 12.19.19.0.5 en la cuenta larga maya, cómo se representa la fecha actual?

¿Cómo se representa el 21 de diciembre de 2012 en la cuenta larga maya?

Convertidor de fechas a calendario maya y azteca

Para quien quiera enterarse mucho más de la historia de los calendarios:

Libro: Pormenores terrestres

Continuaremos si es que no encuentro algo más interesante con:

Divisibilidad

La relación a| b “a divide a b” es un orden parcial en los naturales.
Los enteros que tienen inversos multiplicativos se llaman unidades.

Sean a y b enteros y u, u’ son unidades entonces,  a|b si y solo si au|bu'

Una combinación lineal de a y b es una expresión de la forma ar+bs con r y s enteros

Si a,b y c son enteros tales que c divide a a y c divide a b, entonces c divide a cualquier combinación lineal de a y b.

Ejercicios.

Demostrar que 52 no es combinación lineal de 20 y 15

Demostrar que si c=3n\pm 1 con n entero, entonces c no es combinación lineal de 45 y 1251

Demostrar que si c es combinación lineal de a y b, entonces rc lo es también.
Demostrar que si d es combinación lineal de a y b,  y b es combinación lineal de a y c, entonces d es combinación lineal de a y c.

ALGEBRA – Principio del buen orden, axioma de elección y otras cosas bien torcidas…

Hola a todos, ayer dije algo medio torcido que debo precisar, ahí les va:

En los números naturales, el principio de inducción es equivalente a que los naturales están bien ordenados. (Lo demostramos ayer)

En teoría de conjuntos, el principio del buen orden es equivalente al axioma de elección que, a su vez es equivalente al lema de Zorn.

El principio del buen orden postula que todo conjunto admite  un buen orden ( se dan cuenta de lo fuerte que es esto? para ciertos conjuntos, no es nada claro como ha de construirse tal buen orden, por ejemplo piensen nadamás en los números reales, cómo podrían bien ordenarlos?? de modo que cada subconjunto tuviera un primer elemento? el que lo descubra se ganará la medalla Fields sin duda alguna)

El axioma de elección dice que de una clase arbitraria de conjuntos, la colección formada por un elemento de cada uno de esos conjuntos es un conjunto.

Pero imaginen un cúmulo monstruoso de conjuntos tal, que no pueda ser llamado conjunto de conjuntos!! Ya se enterarán de que muchas construcciones avanzadas de Análisis funcional, empezando por teoría de la medida, dependen del axioma de elección, y que hay un grupo de matemáticos que no creen en él (de hecho en el fondo creo que yo no lo creo). Nadie ha podido demostrarlo, es más, no estoy segura si el axioma de elección es una de esas proposiciones indecidibles que siempre existen en los sistemas lógicos formales, hecho que descubrió Goedel. Si alguien sabe este dato pues dígame.

El lema de Zorn dice que en un conjunto con un orden parcial, cada cadena tiene un elemento maximal. Para quien quiera leer  más sobre el lema de Zorn puede checar la siguiente página:

Lema de Zorn en wikipedia
Recuerden que una relación de orden parcial, es una relación que cumple 3 condiciones

Reflexiva

Antisimétrica

Transitivva

Como ejemplo de orden parcial tenemos la relación \leq en los números reales, otro ejemplo es la contención en los conjuntos, (aquí es claro que no todos los conjuntos en un universo son comparables entre si por medio de esta relación pues lo que tienen intersección vacía no se comparan por medio de la contención).

También pueden revisar el libro de Teoría de Conjuntos de José Alfredo Amor, creo que lo pueden adquirir en las publicaciones de la facultad  y es muy económico =D

Mi tesis de licenciatura usa el axioma de elección =( y la de maestría también=(((