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ejercicio ecuaciones :)

Tarea 1 – ejercicio 1 http://quantumconnection.blogspot.com/2013/08/tarea-1-ejercicio-1.html

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Fin de la primera cuenta larga maya

Los pueblos mesoamericanos tenían su propia manera de medir el tiempo, y coincidían entre si en la manera de hacerlo, aparentemente esta manera de medir el tiempo la inventaron los olmecas hace 35 siglos. Aunque se conocen los calendarios mexica y maya, se le ha dado más importancia al calendario maya porque se han encontrado más registros de cuenta de tiempo de los mayas. El año mesoamericano es el año sideral y se mide a partir de la observación de las constelaciones, por eso es exacto. En cambio el año solar (el que usamos actualmente), se cuenta a partir de días solares y por eso no coincide con el año sideral, ya que el movimiento de traslación de la tierra y el movimiento de rotación son inconmensurables entre si.

El año civil de los mayas tenía 360 días. Los 5 días faltantes se consideraban de mala suerte, así que en esos días, no hacían nada!
El sistema de numeración para contar el tiempo de los mayas es el siguiente

kin equivale a 1 día

uinal son 20 días (1 mes maya)

tun son 18 uinal  (360 días, o sea, 1 año civil maya)

katún son 20 tun \sim  20 años

baktún son 20 katunes \sim 400 años

La cuenta larga maya es un período de 13 baktunes. El número 13 era importante para las civilizaciones mesoamericanas, tal vez porque se dieron cuenta de que un vuelta de la tierra alrededor del sol, es poco más de 13 vueltas de la luna alrededor de la tierra. El final de la primera cuenta larga maya se representa como 13.0.0.0.0

Las preguntas que a uno se le ocurren de manera natural so las siguientes:

¿Cuántos días hay en una cuenta larga maya?

Partiendo de que 0.0.0.0.0 corresponde al 13 de agosto de 3114 a.C.

¿Cómo se representaría la fecha actual del calendario gregoriano, en la cuenta larga maya?

Sugerencia: Contar los días que han pasado desde el 13 de agosto de 3114 a. C.

Tomando en cuenta las siguientes consideraciones:

1.- Del año 3114 a.C. a 45 a.C fueron años de 365 días. La cuenta de días comienza el 13 de agosto de 3114.

2.- Del año 45 a.C. al 1582 d. C . hubo año bisiesto cada 4 años (Calendario juliano)

3.- Los 10 días del 4 de octubre de 1582 al 18 de octubre de 1582 no existieron, hay que quitarlos de la cuenta.

4.- A partir del año 1582 entra en vigor la nueva regla para definir año bisiesto. (Calendario Gregoriano)

5.- Hay una teoría de que los años etiquetados con d.C (después de Cristo) se cuentan a partir de la muerte de Cristo, si es así, entonces también se han perdido en la cuenta los 33 años que vivió Cristo.

Si el 1 de enero de 2012 es 12.19.19.0.5 en la cuenta larga maya, cómo se representa la fecha actual?

¿Cómo se representa el 21 de diciembre de 2012 en la cuenta larga maya?

Hoy 21 de diciembre de 2012 termina la primera cuenta larga maya. También se pueden hacer los cálculos para contestar las preguntas anteriores tomando esta fecha como referencia. Hoy es 13.0.0.0.0

Convertidor de fechas a calendario maya y azteca

Para quien quiera enterarse mucho más de la historia de los calendarios:

Libro: Pormenores terrestres

Algebra – Ecuaciones diofantinas, 2 videos

Hola a todos, en el siguiente video, les explico como encontrar todas las soluciones de una ecuación diofantina cuyos coeficientes son primos relativos entre si. Se me hizo más fácil y rápido que ponerme a escribir jeje.

Soluciones de una ecuación diofantina

El link para verlo en youtube directamente es:

http://youtu.be/WaxZS7Ykado

Problema de la bufanda – Ecuaciones diofantinas 2

http://youtu.be/8WahW0Vr-Ws

Algebra – Adivinar la fecha de cumpleaños

 
NOTA. Disculpen los errores disléxicos, ya corregí algunos, si encuentran más avísenme por favor.

Instrucciones

1.- Piensa en el número de mes de tu cumpleaños y multiplícalo por 31

2.- Piensa en el día (número) de tu cumpleaños y multiplícalo por 12

3.- Suma las dos cantidades anteriormente calculadas

Si la suma de las dos cantidades  es k ¿Cómo puedo saber exactamente la fecha de tu cumpleaños?

Solución

Sea d el número de día de tu cumpleaños y m el número de mes, entonces la suma que se pide realizar es:

12d+ 31m=k donde k es un número entero. Esta es una ecuación diofantina.

Observen que 12 y 31 son primos relativos. Por medio del algoritmo de Euclides hay que hallar una combinación lineal de 12 y 31 igualada a su máximo común divisor que es 1.

La combinación lineal es

1=12(13)-31(5)

multiplicando esta ecuación por k se obtiene:

k=12(13k)-31(5k)

que sí nos da una solución de la ecuación diofantina, pero no es la solución que buscamos

porque queremos que d sea un número entre 1 y 31, y que m sea un número entre 1 y 12

(no hay que perder de vista que 12 y 31 son los coeficientes de la ecuación diofantina)

Precisando un poco más,  la solución que se desea d es el entero positivo mas pequeño que sea congruente con 13k módulo 31, en notación abreviada:

d\cong 13k\mathrm{mod}31

es decir que 31 divida a d-13k

y que 12 divida a m+5k o sea que  m\cong -5k\mathrm{mod}12

Porqué funciona??? La respuesta en un próximo post cuando termine de escribirlo =)

Algebra – acciones de grupos

Hola a todos, en álgebra hemos estado analizando las isometrías en el plano complejo. Algunos conceptos importantes que hay que tener presentes son los siguientes:

Grupo

Un grupo (G, *) es una conjunto G junto con una operación *:G\times G\rightarrow G tal que se cumplen las siguientes condiciones:

1.- La operación * es asociativa

2.- Existe un elemento e tal que e* a=a \quad \forall a\in G (elemento neutro)

3.- Para cada a\in G existe a^{-1}\in G tal que a * a^{-1}=e (existencia de los inversos)

Si además la operación es conmutativa, se dice que el grupo es conmutativo o abeliano
Ejemplos de grupos:

– Los reales con la suma

– Los enteros, con la suma

– Los complejos con la suma

– Los reales con el producto no son grupo porque el 0 no tiene inverso multiplicativo.

\mathbb{R}^{n} con la suma

– Las isometrías en \mathbb{R}^{n} con la composición

– Las isometrías en el plano complejo con la composición.

Acción de grupo

Una acción del grupo G en el espacio X, es una función $a:G\times X\rightarrow X$ que cumple lo siguiente:

1.- a(e,x)=x, \forall x\in X donde e es el elemento neutro del grupo. Esto quiere decir que el elemento neutro fija los elementos del espacio X.

2.- a(\delta*\gamma, x)=a(\delta, a(\gamma,x)). Esto quiere decir que aplicar la acción de un producto es lo mismo que aplicar primero la acción de un elemento del grupo y luego aplicar la acción con el segundo elemento del grupo, pero respetando el orden.

Ejemplo.

Las isometrías actúan en el plano complejo de la siguiente manera. Sea \gamma:\mathbb{C}\rightarrow \mathbb{C} una isometría, entonces a(\gamma,z)=\gamma(z), es decir a cada punto le aplico la isometría.

 Orbita

La órbita de un punto
x\in X bajo la acción se define como el conjunto
\mathcal{O}_{x}=\lbrace a(\gamma,x), \gamma\in G \rbrace
es decir, todos los posibles puntos en el espacio, a donde puede ir x por medio de aplicaciones de la acción. Otro modo de encontrar la órbita, es aplicarle a x la acción ṕor todos los elementos de G.

Ejemplo.
Si G son las rotaciones en el plano complejo y X=\mathbb{C}, entonces la órbita de un complejo z\in\mathbb{C}, es el conjunto:

\lbrace wz\in\mathbb{C}  donde  w=\mathrm{cos}(\theta) +i\mathrm{sen}(\theta), \theta\in(0,2\pi)\rbrace

O sea que la órbita es un círculo de radio |z|

En el espacio X, tener la misma órbita es una relación de equivalencia, y lo descompone en clases de equivalencia, es interesante conocer el espacio de las clases, o espacio cociente  x/\sim. En el ejemplo de las rotaciones, el espacio de las órbitas es topológicamente equivalente a la semirecta \mathbb{R}\cup\lbrace 0\rbrace. Ya que las órbitas son círculos

Estabilizador

Dada una acción, el estabilizador de un punto, es el conjunto de elementos del grupo que lo dejan fijo. Formalmente

\mathcal{S}_{x}=\lbrace \gamma\in G, a(\gamma,x)=x\rbrace

Observen que este conjunto siempre incluye al elemento neutro, y es cerrado bajo inversos, por lo que resulta ser un subgrupo de G, también se le llama grupo de isotropía de x.

Ejemplo. Sea z un número complejo, entonces su estabilizador (o grupo de isotropía) en las isometrías es el conjunto de todas las rotaciones con centro en z y además todas las reflexiones por rectas que pasen por p.