Algebra – Adivinar la fecha de cumpleaños

 
NOTA. Disculpen los errores disléxicos, ya corregí algunos, si encuentran más avísenme por favor.

Instrucciones

1.- Piensa en el número de mes de tu cumpleaños y multiplícalo por 31

2.- Piensa en el día (número) de tu cumpleaños y multiplícalo por 12

3.- Suma las dos cantidades anteriormente calculadas

Si la suma de las dos cantidades  es k ¿Cómo puedo saber exactamente la fecha de tu cumpleaños?

Solución

Sea d el número de día de tu cumpleaños y m el número de mes, entonces la suma que se pide realizar es:

12d+ 31m=k donde k es un número entero. Esta es una ecuación diofantina.

Observen que 12 y 31 son primos relativos. Por medio del algoritmo de Euclides hay que hallar una combinación lineal de 12 y 31 igualada a su máximo común divisor que es 1.

La combinación lineal es

1=12(13)-31(5)

multiplicando esta ecuación por k se obtiene:

k=12(13k)-31(5k)

que sí nos da una solución de la ecuación diofantina, pero no es la solución que buscamos

porque queremos que d sea un número entre 1 y 31, y que m sea un número entre 1 y 12

(no hay que perder de vista que 12 y 31 son los coeficientes de la ecuación diofantina)

Precisando un poco más,  la solución que se desea d es el entero positivo mas pequeño que sea congruente con 13k módulo 31, en notación abreviada:

d\cong 13k\mathrm{mod}31

es decir que 31 divida a d-13k

y que 12 divida a m+5k o sea que  m\cong -5k\mathrm{mod}12

Porqué funciona??? La respuesta en un próximo post cuando termine de escribirlo =)

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