Algebra – acciones de grupos

Hola a todos, en álgebra hemos estado analizando las isometrías en el plano complejo. Algunos conceptos importantes que hay que tener presentes son los siguientes:

Grupo

Un grupo (G, *) es una conjunto G junto con una operación *:G\times G\rightarrow G tal que se cumplen las siguientes condiciones:

1.- La operación * es asociativa

2.- Existe un elemento e tal que e* a=a \quad \forall a\in G (elemento neutro)

3.- Para cada a\in G existe a^{-1}\in G tal que a * a^{-1}=e (existencia de los inversos)

Si además la operación es conmutativa, se dice que el grupo es conmutativo o abeliano
Ejemplos de grupos:

– Los reales con la suma

– Los enteros, con la suma

– Los complejos con la suma

– Los reales con el producto no son grupo porque el 0 no tiene inverso multiplicativo.

\mathbb{R}^{n} con la suma

– Las isometrías en \mathbb{R}^{n} con la composición

– Las isometrías en el plano complejo con la composición.

Acción de grupo

Una acción del grupo G en el espacio X, es una función $a:G\times X\rightarrow X$ que cumple lo siguiente:

1.- a(e,x)=x, \forall x\in X donde e es el elemento neutro del grupo. Esto quiere decir que el elemento neutro fija los elementos del espacio X.

2.- a(\delta*\gamma, x)=a(\delta, a(\gamma,x)). Esto quiere decir que aplicar la acción de un producto es lo mismo que aplicar primero la acción de un elemento del grupo y luego aplicar la acción con el segundo elemento del grupo, pero respetando el orden.

Ejemplo.

Las isometrías actúan en el plano complejo de la siguiente manera. Sea \gamma:\mathbb{C}\rightarrow \mathbb{C} una isometría, entonces a(\gamma,z)=\gamma(z), es decir a cada punto le aplico la isometría.

 Orbita

La órbita de un punto
x\in X bajo la acción se define como el conjunto
\mathcal{O}_{x}=\lbrace a(\gamma,x), \gamma\in G \rbrace
es decir, todos los posibles puntos en el espacio, a donde puede ir x por medio de aplicaciones de la acción. Otro modo de encontrar la órbita, es aplicarle a x la acción ṕor todos los elementos de G.

Ejemplo.
Si G son las rotaciones en el plano complejo y X=\mathbb{C}, entonces la órbita de un complejo z\in\mathbb{C}, es el conjunto:

\lbrace wz\in\mathbb{C}  donde  w=\mathrm{cos}(\theta) +i\mathrm{sen}(\theta), \theta\in(0,2\pi)\rbrace

O sea que la órbita es un círculo de radio |z|

En el espacio X, tener la misma órbita es una relación de equivalencia, y lo descompone en clases de equivalencia, es interesante conocer el espacio de las clases, o espacio cociente  x/\sim. En el ejemplo de las rotaciones, el espacio de las órbitas es topológicamente equivalente a la semirecta \mathbb{R}\cup\lbrace 0\rbrace. Ya que las órbitas son círculos

Estabilizador

Dada una acción, el estabilizador de un punto, es el conjunto de elementos del grupo que lo dejan fijo. Formalmente

\mathcal{S}_{x}=\lbrace \gamma\in G, a(\gamma,x)=x\rbrace

Observen que este conjunto siempre incluye al elemento neutro, y es cerrado bajo inversos, por lo que resulta ser un subgrupo de G, también se le llama grupo de isotropía de x.

Ejemplo. Sea z un número complejo, entonces su estabilizador (o grupo de isotropía) en las isometrías es el conjunto de todas las rotaciones con centro en z y además todas las reflexiones por rectas que pasen por p.

 
 
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