ALGEBRA – Principio del buen orden, axioma de elección y otras cosas bien torcidas…

Hola a todos, ayer dije algo medio torcido que debo precisar, ahí les va:

En los números naturales, el principio de inducción es equivalente a que los naturales están bien ordenados. (Lo demostramos ayer)

En teoría de conjuntos, el principio del buen orden es equivalente al axioma de elección que, a su vez es equivalente al lema de Zorn.

El principio del buen orden postula que todo conjunto admite  un buen orden ( se dan cuenta de lo fuerte que es esto? para ciertos conjuntos, no es nada claro como ha de construirse tal buen orden, por ejemplo piensen nadamás en los números reales, cómo podrían bien ordenarlos?? de modo que cada subconjunto tuviera un primer elemento? el que lo descubra se ganará la medalla Fields sin duda alguna)

El axioma de elección dice que de una clase arbitraria de conjuntos, la colección formada por un elemento de cada uno de esos conjuntos es un conjunto.

Pero imaginen un cúmulo monstruoso de conjuntos tal, que no pueda ser llamado conjunto de conjuntos!! Ya se enterarán de que muchas construcciones avanzadas de Análisis funcional, empezando por teoría de la medida, dependen del axioma de elección, y que hay un grupo de matemáticos que no creen en él (de hecho en el fondo creo que yo no lo creo). Nadie ha podido demostrarlo, es más, no estoy segura si el axioma de elección es una de esas proposiciones indecidibles que siempre existen en los sistemas lógicos formales, hecho que descubrió Goedel. Si alguien sabe este dato pues dígame.

El lema de Zorn dice que en un conjunto con un orden parcial, cada cadena tiene un elemento maximal. Para quien quiera leer  más sobre el lema de Zorn puede checar la siguiente página:

Lema de Zorn en wikipedia
Recuerden que una relación de orden parcial, es una relación que cumple 3 condiciones

Reflexiva

Antisimétrica

Transitivva

Como ejemplo de orden parcial tenemos la relación \leq en los números reales, otro ejemplo es la contención en los conjuntos, (aquí es claro que no todos los conjuntos en un universo son comparables entre si por medio de esta relación pues lo que tienen intersección vacía no se comparan por medio de la contención).

También pueden revisar el libro de Teoría de Conjuntos de José Alfredo Amor, creo que lo pueden adquirir en las publicaciones de la facultad  y es muy económico =D

Mi tesis de licenciatura usa el axioma de elección =( y la de maestría también=(((

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2 pensamientos en “ALGEBRA – Principio del buen orden, axioma de elección y otras cosas bien torcidas…”

  1. Hola Rocío es interesante este tema yo soy estudiante de Física y desagradablemente (jaja) nos quitaron las álgebras superiores por una álgebra para físicos, (no se ve el tema de equivalencia ni anillos nada de esas cosas muy, muy interesantes) después de este preámbulo tengo una duda de lógica un poco inocente si así se le quiere ver; en un libro de álgebra superior me encuentro con que A implica B cuando A es cierto B es cierto. Enseguida dice; A falso B falso, A implica B verdadero pero si en un principio A B verdaderos es verdadero ¿por qué A B falsos es verdadero? eso no sería la contra-recíproca, que es al revés A(verdadero) => B(verdadero) Contra-recíproca B(falso) =>A(falso), y por último A falso es lo mismo que no A. Gracias Saludos

    1. hola, existe la convención de que si en una implicación partes de un antecedente falso, entonces el enunciado es verdadero,. Ahí te va una analogía no muy buena pero ilustrativa de porqué se toman como verdaderos esos enunciados.
      Le dices a tu hermanito que si termina su tarea, le das un chocolate.

      caso 1, la termina y le das el chocolate, todo bien no?
      caso 2 la termina y no le das el chocolate
      uff pues no cumpliste, eso está mal
      caso 3, no la termina y no le das el chocolate
      pues, está bien, porque nada te obligaba a dárselo si no la terminada, este es exactamente el caso…. espero que te sirva de algo esta reflexión rara del sentido común,, finalmente la lógica se trata como de establecer las reglas del sentido común. Saludos!!!!

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